学习笔记——流体力学基本方程 (一)

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Bilibili-流体力学基础科普-北斗导航Compass

参考教材：Fundamentals of AERODYNAMICS by John D. Anderson, Jr.

一、基本概念

1. 什么是流体？

对比固体和流体的区别

对于固体剪切力与形变量成正比

对于流体剪切力与形变量的时间变化率成正比

解释流体为什么能流起来？

对于流体如果流体中的剪切力是常数，则其形变量的时间变化率也应为常数，即流体一直发生形变（流动）

流体在抗压时可以静止，在抗剪时一定在运动

2. 流体质点

将流体看作无穷多的质点的结合，符合连续介质假设

3. 描述流体的物理量

包括速度、密度、压强、温度等等

压强(压力) Pressure 单位Pa

$$
P=\frac{F}{A}\ \ \ \ 当A\rightarrow0时\ \ \ P=frac{dF}{dA}
$$

密度单位 $kg/m^3$

$$
\rho=\frac{m}{V}\ \ \ 当V\rightarrow0时\ \ \ \rho=\frac{dm}{dV}
$$

温度单位K

$$
0°C=273.15K
$$

4. 描述流体运动的方法

拉格朗日法

以质点为研究对象,跟踪质点的运动

欧拉法

以确定空间为研究对象,研究某一空间点不同时间下,在此空间点的质点的运动

	积分方法	微分方法
拉格朗日法	一坨流体	质点
欧拉法	控制体	空间点

二、基本方程

1. 质量守恒方程(连续方程)

控制体内流体总质量的增量 = 流入控制体的流体质量

欧拉法连续方程的微分形式

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0
$$

其中 $\rho,u,v,w$ 均是 $x,y,z,t$ 的函数,如 $\rho(x,y,z,t)$

方程左边: 单位时间控制体内流体总质量的增量(为负数就是减量)

首先,表示总质量

$$
m={\iiint}_{cv}\rho dV
$$

对时间t求偏导,得

$$
\frac{\partial m}{\partial t}=\frac{\partial ({\iiint}{cv}\rho dV)}{\partial t}={\iiint}{cv}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV
$$

方程右边: 单位时间流入控制体的流体质量

质量=密度*体积

$$
h=v*\Delta t\cos\theta
$$

$$
V=Sh=Sv*\Delta t\cos\theta
$$

则 $\Delta t$ 时间范围内

$$
m=\rho V=\rho Sv\Delta t\cos\theta
$$

$$
m|_{单位时间}=\rho Sv\cos\theta
$$

对控制体边界面积分

$$
{\iint}_{cs}\rho \vec{v}\cdot d\vec{S}
$$

规定控制体表面的外法线方向为正,则方程右边应为添加负号

即

$$
-{\iint}_{cs}\rho \vec{v}\cdot d\vec{S}
$$

则可得到积分形式的质量守恒方程

$$
{\iiint}{cv}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV=-{\iint}{cs}\rho \vec{v}\cdot d\vec{S}
$$

也即

$$
{\iiint}{cv}\frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV+{\iint}{cs}\rho \vec{v}\cdot d\vec{S}=0
$$

根据高斯定理

$$
{\iint}{cs}\rho \vec{v}\cdot d\vec{S}={\iiint}{cv}[\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}]dV
$$

则积分形式的质量守恒方程可以合并为

$$
{\iiint}_{cv}[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}]dV=0
$$

可得微分形式的质量守恒方程

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0
$$

用哈密顿算子表示,可写为

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{v})=0
$$

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