流体力学基本方程（二）：动量守恒方程的控制体推导

在上一篇中，我们从固定控制体出发推导了质量守恒方程。本篇继续回答第二个问题：流体的速度为什么会发生变化？

答案仍然是牛顿第二定律。困难之处在于，控制体是固定的空间区域，流体却会不断穿过控制面。因此，控制体内动量的变化不只来自外力，还要计入流入和流出所携带的动量。

本文默认读者已经了解密度、速度场、控制体、控制面和质量守恒方程。为避免一开始陷入分量运算，先建立矢量形式，再展开到直角坐标分量。

一、先分清系统与控制体

1. 系统：始终跟随同一批流体质点

对于质量不变的流体系统，牛顿第二定律写为

$$\frac{d}{dt}\int_{\mathrm{sys}}\rho\boldsymbol{v}\,dV =\sum\boldsymbol{F}$$

其中，$\rho$是密度，$\boldsymbol{v}$是速度，积分项是系统的总动量。这个式子非常直观：同一批流体的总动量变化率等于它受到的合外力。

2. 控制体：研究固定空间中的流动

工程中更常观察一段管道、一个叶轮通道或一块计算网格，也就是控制体。由于流体会穿过控制面，系统的动量变化必须拆成两部分：

• 控制体内部的动量积累；
• 穿过控制面的净动量流出。

雷诺输运定理把系统描述转换为固定控制体描述：

$$\frac{d}{dt}\int_{\mathrm{sys}}\rho\boldsymbol{v}\,dV = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\boldsymbol{v}\,dV +\oint_{CS}\rho\boldsymbol{v} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\,dA$$

因此，控制体形式的动量守恒方程为

$$\boxed{ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\boldsymbol{v}\,dV +\oint_{CS}\rho\boldsymbol{v} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\,dA =\sum\boldsymbol{F} }$$

这就是后续所有动量方程的出发点。

二、控制体方程的每一项表示什么

1. 动量积累项

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\boldsymbol{v}\,dV$$

它描述固定控制体内部总动量随时间的变化。定常流动中，各空间点的物理量不随时间变化，因此该项为零；但流体仍可能因为空间位置改变而加速。

2. 动量通量项

$$\oint_{CS}\rho\boldsymbol{v} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\,dA$$

先看$\rho(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})dA$：它是单位时间穿过面积微元$dA$的质量。再乘以速度$\boldsymbol{v}$，就得到这股质量携带的动量。

规定$\boldsymbol{n}$为控制面的外法向量：

• $\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}>0$表示流出；
• $\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}<0$表示流入。

所以曲面积分自动完成了“流出动量减去流入动量”的计算。动量通量不是额外的力，而是流体穿过控制面造成的动量输运。

3. 外力项

流体受到的外力分为体积力和表面力：

$$\sum\boldsymbol{F} =\int_{CV}\rho\boldsymbol{b}\,dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\,dA$$

其中，$\boldsymbol{b}$是单位质量体积力，常见情况为重力加速度$\boldsymbol{g}$；$\boldsymbol{\sigma}$是应力张量，$\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}$是控制面上的应力矢量。

应力可以拆成压强和黏性应力：

$$\boldsymbol{\sigma}=-p\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\tau}$$

负号来自压强的方向：压强总是沿表面法线的反方向挤压流体。$\boldsymbol{\tau}$则包含法向黏性应力和切向剪应力。

三、从积分形式到微分形式

把体积力和表面力代入控制体方程：

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\boldsymbol{v}\,dV +\oint_{CS}\rho\boldsymbol{v} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\,dA =\int_{CV}\rho\boldsymbol{b}\,dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\,dA$$

利用高斯散度定理，把两个面积分转换为体积分：

$$\int_{CV} \left[ \frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t} +\boldsymbol{\nabla}\cdot (\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}) -\rho\boldsymbol{b} -\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} \right]dV=0$$

由于控制体可以任意选取，被积函数必须处处为零：

$$\boxed{ \frac{\partial(\rho\boldsymbol{v})}{\partial t} +\boldsymbol{\nabla}\cdot (\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}) =\rho\boldsymbol{b} +\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} }$$

这就是守恒形式的柯西动量方程。结合连续方程

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} +\boldsymbol{\nabla}\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0$$

可以把左侧化为$\rho D\boldsymbol{v}/Dt$，得到非守恒形式：

$$\boxed{ \rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\rho\boldsymbol{b} +\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} }$$

其中，随体导数为

$$\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\underbrace{\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}}_{\text{当地加速度}} +\underbrace{(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{v}}_{\text{对流加速度}}$$

当地加速度表示同一空间点的速度随时间变化；对流加速度表示流体质点运动到速度不同的位置而产生的速度变化。因此，定常流动只能说明当地加速度为零，不能说明总加速度为零。渐缩管中的定常流动就是典型例子。

四、直角坐标中的$x$方向动量方程

为了看清每一项，把守恒形式展开到$x$方向。令$\boldsymbol{v}=(u,v,w)$，则

$$\frac{\partial(\rho u)}{\partial t} +\frac{\partial(\rho u^2)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho uv)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho uw)}{\partial z} =\rho b_x +\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}$$

左侧依次表示：

1. 控制体内$x$方向动量的当地变化；
2. $x$方向流动输运的$x$动量；
3. $y$方向流动输运的$x$动量；
4. $z$方向流动输运的$x$动量。

右侧则是$x$方向体积力与各表面应力的合力。注意$\rho uv$并不是“两个速度相乘后产生的力”，而是沿$y$方向穿过控制面的质量所携带的$x$方向动量。

使用连续方程后，也可以写成更直观的加速度形式：

$$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} \right) =\rho b_x -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}$$

五、从柯西动量方程到 Navier–Stokes 方程

对牛顿流体，黏性应力与速度梯度线性相关：

$$\boldsymbol{\tau} =\mu\left[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v} +(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v})^{T} \right] +\lambda(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{I}$$

把$\boldsymbol{\sigma}=-p\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\tau}$代入柯西动量方程，可得一般形式的 Navier–Stokes 方程：

$$\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =-\boldsymbol{\nabla}p +\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\tau} +\rho\boldsymbol{b}$$

对于密度不变、动力黏度$\mu$为常数的不可压缩牛顿流体，$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v}=0$，方程简化为

$$\boxed{ \rho\left[ \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v} \right] =-\boldsymbol{\nabla}p +\mu\nabla^2\boldsymbol{v} +\rho\boldsymbol{g} }$$

可以把它理解为一张“受力—加速度”清单：

方程项	物理意义	单位
$\rho\,\partial\boldsymbol{v}/\partial t$	当地惯性	$\mathrm{N/m^3}$
$\rho(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v}$	对流惯性	$\mathrm{N/m^3}$
$-\boldsymbol{\nabla}p$	压强梯度力	$\mathrm{N/m^3}$
$\mu\nabla^2\boldsymbol{v}$	黏性扩散	$\mathrm{N/m^3}$
$\rho\boldsymbol{g}$	重力	$\mathrm{N/m^3}$

方程两边的每一项都是单位体积上的力。左侧是产生加速度所需的惯性项，右侧是压强、黏性和重力共同提供的驱动力。

六、三个常见特例

1. 静止流体

当$\boldsymbol{v}=0$时，惯性项和黏性项均为零：

$$\boldsymbol{\nabla}p=\rho\boldsymbol{g}$$

这就是流体静力学平衡方程。

2. 无黏流动

忽略黏性应力后，得到欧拉方程：

$$\rho\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =-\boldsymbol{\nabla}p+\rho\boldsymbol{g}$$

在额外满足定常、不可压缩，并沿流线积分等条件时，可以进一步得到伯努利方程。

3. 充分发展管流

对于水平直管中的定常、充分发展流动，对流加速度可以为零，但压强梯度仍需与黏性阻力平衡。由此可见，“速度不随时间变化”不等于“流体不受力”。

七、容易混淆的四个问题

1. 为什么定常流动仍会加速？ 因为当地加速度为零时，对流加速度仍可能存在。
2. 为什么压强项前面有负号？ 因为流体受到的压强作用方向与控制面的外法线相反。
3. 动量通量是不是一种力？ 它不是新的相互作用力，而是质量跨越控制面时携带的动量；量纲与力相同，因此会出现在同一个平衡式中。
4. 守恒形式和非守恒形式哪个更正确？ 两者在场光滑且满足连续方程时等价；存在激波或间断时，守恒形式更基本，也更适合有限体积离散。

八、推导主线回顾

本文的逻辑可以压缩成四步：

1. 对流体系统应用牛顿第二定律；
2. 用雷诺输运定理转换到固定控制体；
3. 把外力拆为体积力、压强和黏性应力；
4. 用高斯散度定理得到局部微分方程，再代入牛顿流体本构关系得到 Navier–Stokes 方程。

最需要记住的不是最后一行公式，而是它背后的平衡关系：

$$\boxed{ \text{动量积累} +\text{净动量流出} =\text{体积力} +\text{表面力} }$$

后续讨论能量守恒时仍会沿用同样的“系统定律—雷诺输运定理—控制体方程”路线。

本文含有 AI 生成内容